怎么用参数方程直接求面积

采用极坐标的面积元为ΔS =1/2 (r+Δr)^2 ?* Δθ - 1/2 r^2 * Δθ = r * Δr * Δθ；

所以极坐标下面积公式为S = ∫∫ r dr dθ = ∫ 1/2 r^2 dθ；

这里r = 1+cosθ；

所以S = ∫ 1/2 (1+cosθ)^2 dθ；

扩展资料：

曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。

圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 为圆心坐标，r 为圆半径，θ 为参数，(x,y) 为经过点的坐标；

椭圆的参数方程 x=a cosθ　 y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a为长半轴长 b为短半轴长 θ为参数；

双曲线的参数方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数；

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数；

直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直线经过（x',y'），且倾斜角为a，t为参数；

圆幂定理怎么应用

楼主说的应该是理想气体状态方程式吧。

首先，理想气体状态方程式的适用条件，或使用要求是：①压力（压强）较低；②温度较高。而不是“温度不太高”。

第二，之所以有上述两个要求，这与“理想气体”的概念有关。所谓理想气体，是指忽略了气体分子间的引力和气体分子的体积的一种理想条件下的气体。

通常条件下（即常温条件下），空气就可以当做理想气体，其原因是：这时的空气分子间的距离很大，分子间的引力小到可以忽略不计，且气体分子的体积与整个气体的体积相比也是极小的，可以忽略不计，这就符合了理想气体的条件了。所以，常温下的空气，可以当做理想气体，并且用理想气体状态方程式来计算，也不会产生很大的误差。

第三，压力和温度对“理想气体状态方程式”的影响。

（1）压力的影响（此时温度不变）。显然，当压力升高后，气体被压缩，则气体分子间的距离必然要减小，这必然要引起分子间的引力加大，并且分子体积占总体积的比上升。如果引力和体积比大到不可忽略的程度，那么，这时就不能再当做是理想气体了。当然，理想气体状态方程式也就不能使用了，否则，必然会产生很大的误差。

（2）温度的影响（此时压力不变）。显然，温度降低后，气体体积也是减小的，则气体分子间的距离必然要减小，其理由同上。

第四，关于理想气体状态方程式的适用范围。由理想气体的概念可知，只要是实际气体可以做到忽略分子间的引力和分子体积，就可以使用理想气体的状态方程式。如上所述，常温下的空气就可以当做是理想气体。关键是如何判断呢？这里有个简易的办法，就是气体远离其液体时的状态，就可以。因为，刚刚从液态转变成气体，其分子间的距离肯定是很小的，但当继续降低压力或升高温度后，其分子间的距离必然加大，只要足够大（即远离液体状态），就行了。如水蒸气通常离其液体状态较近，所以，水蒸气是不能当做理想气体的。

—————————————补充—————————————————

楼主说的“理性”就是“理想”吧。

我在第四点已经说过了，凡是“气体远离其液体时的状态”的气体，就可以当做是理性气体，否则就是非理想气体。非理想气体的状态，离它们的液体状态比较近，因而它们的分子引力和分子体积是不能忽略的，但要划个明显的界线很难，但凡是饱和蒸汽之类的气体，如饱和水蒸气、氨蒸汽、制冷剂工质蒸汽、酒精蒸汽、金属汞蒸汽，等之类的蒸汽，一般都是非理想气体。我们掌握的大部分气体，如空气、氧气、氮气、氢气、氧化氮、氩气、氙气、氦气等，在通常条件下都是理想气体。水蒸气、二氧化碳、二氧化硫等只有在低压或高温下才能当成是理想气体。

总之，大部分单原子气体和双原子气体都可以当做理想气体，大部分三原子气体及更多原子的气体，是需要一定条件才能当做理想气体的。

非理想气体之所以不适用气体的三大实验定律，主要就是它们的分子间距不够大（参考第二点的第二段），以至于不能忽略它们分子之间的引力和分子体积。

书上说“温度不太高”，这一点，我不记得了。我想，这些实验都是在常温下进行的。但实际上，温度越高，适用气体实验定律的气体就越多，也越精确。某教材有这样的实验，是空气的，现给你看一下，供你参考。

T（K） P（atm） v（m^3/kg） v测（m^3/kg） 相对误差(%)

300 1 0.84992 0.84925 0.02

300 10 0.084992 0.08477 0.26

300 100 0.0084992 0.00845 0.58

200 100 0.00566 0.0046 23.18

90 1 0.25498 0.24758 2.99

上表第一列为温度，第二列为压力，第三列为按公式计算的比体积，第四列为在同样条件下实际测量的比体积，第五列为计算与测量之间的相对误差。

由上表可以看出，当温度T=300K时，随着压力的增加（1,10,100），误差加大；当压力P=1atm时，温度增加（90，300），误差减小；特别地，当T=200K，P=100atm时，误差最大，也即压力较高时，温度不能太低，较高的压力，温度必须要高。

所以，气体的温度越高，压力越低，就越适合气体实验定律。

———————————（补充2）————————————————

距离不够大，就是本质问题。这一点，可以从后来很多的对理想气体的“修正”方程式就可以看出。如著名的“范德瓦尔斯”气体状态方程式，就是从分子引力和分子体积入手的。他认为，由于分子之间引力的存在，必然要减少对外部表面的压力，故实际气体对表面的压力要比理想的小，他是用“内压力”进行修正的，也即

理想气体的压力=实际气体的压力+内压力

对于分子体积而言，由于分子体积的存在，限制了气体分子的“自由活动”空间，故实际气体的活动空间要小，应减去分子的体积，即

理想气体的自由活动空间=实际气体的活动空间+分子体积

最终，范德瓦尔斯得到了他的著名的气体状态方程式：

(P+a/Vm^2)×(Vm-b)=R×T （a、b为气体常数）

这个方程式，比理想气体方程式要精确的多，但在液体附近的气体，仍然有很大的误差。这充分表明，分子间距的影响是非常显著的。后来，R-K方程（德立,Redlichh和匡,Kwong）于1949年在范德瓦尔斯方程的基础上，再次对分子内压力进行修正，使方程的精度更进一步提高，基本可以用于相变下（离液态很近了）的气体计算。这个方程较复杂，就不再介绍了。后来，1972年R-K-S在R-K方程的基础上，再次进行了修正，得到了更精确的方程。1976年又出现了P-R方程。这些方程都是在R-K方程基础上的更进一步的拓宽。等等。现在的方程很多，已经可以计算到液相了，如M-H81型方程，已经扩展到液体的计算了。但这些方程已经非常非常复杂了，没有理想气体方程那样简单了，除非需要非常非常的精确计算，一般是不采用这些方程的。

至于“压力较低”指的是气体，不是液体。当然，压力的大小，对液体的气化温度有显著的影响。我说的是，只要气体压力足够小，即便很接近液相，但理想气体状态方程式仍然是好用的。这也是低压与高压的很大不同之处。

另外，我已经不习惯用“压强”这个概念来表达气体的“压强”了。本质上来说，压力与压强是不同的概念。但在气体问题上，我所涉及的领域，都是用“压力”来表示“压强”的。回想起来，中学都用“压强”，大学以后，都变成“压力”了（只对气体、液体而言）。希望我说的“压力”，你能理解。

——————————（补充3）———————————————————

“为什么分子间存在引力，就会减少对外部表面的压力？”

我们还是举个例子吧。如果只有两个磁性铁球，没有别的物体，将其中一个固定不动，而另一个沿着某个方向去撞墙，你说情况会怎样呢？现在简要分析一下。

1、两个小球相距很远，它们之间产生的吸力可以忽略，那么这时撞击墙的力量是F1；

2、两个小球相距很近，它们之间产生的吸力对运动的小球有影响了，那么，这时撞击墙的力量是F2；

3、F1与F2的大小问题。显然，F1＞F2

4、结论：距离越近，撞击墙的力量就越小。

5、推论：气体分子也是如此。

显然高压、低温时，气体分子的间距比较小，其引力会对外表面有一定的影响，就是这个道理。

关于“百度问问补充问题，所有回答者都有提示的吗？”，我不太清楚，就不能班门弄斧了，请你谅解。

圆幂定理 圆幂的定义: 一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OP^2-R^2 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。 进一步升华（推论）： 过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。（这就是“圆幂”的由来） [编辑本段]证明 圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理） 相交弦定理：相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。 证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD 割线定理：割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线是得到切线定理PA^2=PC*PD 证明：（令A在P.B之间，C在P.D之间）因为ABCD为圆内接四边形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC与三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割线定理：切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT2=PA·PB（切割线定理） 推论 从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等 几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线 ∴pd·pc=PA·PB（切割线定理推论） 问题3：过点 任作直线交定圆于两点 、 ，证明 为定值（圆幂定理）． 证：以 为原点，设圆的方程为 ① 过 的直线为 则、 的横坐标是方程 的两个根 、 ．由韦达定理 于是 圆①也可以写成 ①′ 其中 为圆的半径的平方．所说的定值 也就是 （原点）与圆心 的距离的平方减去半径的平方．当 在圆外时，这就是自 向圆所引切线（长）的平方． 这定值称为点 到这圆的幂． 在上面证明的过程中，我们以 为原点，这样可以使问题简化． 如果给定点 ，未必是原点，要求出 关于圆①的幂（即），我们可以设直线 的方程为 ② ③ 是 的倾斜角， 表示直线上的点与 的距离． 将②③代入①得 即 ， 是它的两个根，所以由韦达定理 ④ 是定值 ④是 关于①的幂（当 是原点时，这个值就是 ）．它也可以写成 ④′ 即 与圆心 距离的平方减去半径的平方． 当 在圆内时，幂值是负值； 在圆上时，幂为0； 在圆外时，幂为正值，这时幂就是自 向圆所引切线长的平方． 以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用． 问题4：自圆外一点 向圆引割线交圆于 、 两点，又作切线 、，、 为切点， 与 相交于 ，如图8．求证 、、 成调和数列，即 证：设圆的方程为 ⑤ 点 的坐标为 ， 的参数方程为 ⑥ ⑦ 其中 是 的倾斜角， 表示直线上的点 与 的距离． ⑥⑦代入⑤得 即 、 是它的两个根，由韦达定理 ⑧ 另一方面，直线 是圆的切点弦，利用前边的结论， 的方程为 ⑦⑧代入得 因此，这个方程的根 满足 ⑨ 综合⑧⑨，结论成立． 可以证明，当 在圆内时，上述推导及结论仍然成立． 说明：问题4的解决借用了问题3的方法，同时我们也看到了问题4与问题1、问题2的内在联系．